Ensembles finis Exemples

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{64} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$

Étape 2

Simplifiez $1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$ .

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Étape 2.1

Associez en une fraction.

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Étape 2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{64}{64} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$

Étape 2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{64 - {(x - 1)}^{2}}{64}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{8^{2} - {(x - 1)}^{2}}{64}$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 8$ et $b = x - 1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(8 + x - 1) (8 - (x - 1))}{64}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Soustrayez $1$ de $8$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - (x - 1))}{64}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - x - - 1)}{64}$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - x + 1)}{64}$

Étape 2.2.3.4

Additionnez $8$ et $1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- x + 9)}{64}$

Étape 2.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x) + 9)}{64}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (- 9))}{64}$

Étape 2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 9)$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x - 9))}{64}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- (x - 9)$ comme $- 1 (x - 9)$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- 1 (x - 9))}{64}$

Étape 2.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = - \frac{(x + 7) (x - 9)}{64}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 36$ .

$- 36 (- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36}) = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $- 36 (- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36})$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36}$ dans le numérateur.

$- 36 \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Étape 4.1.1.1.2

Factorisez $36$ à partir de $- 36$ .

$36 (- 1) \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Étape 4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$36 \cdot - 1 \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Étape 4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - {(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Étape 4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Étape 4.1.1.2.2

Multipliez ${(y + 3)}^{2}$ par $1$ .

${(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64}$ dans le numérateur.

${(y + 3)}^{2} = - 36 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{64}$

Étape 4.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 36$ .

${(y + 3)}^{2} = 4 (- 9) \frac{- (x + 7) (x - 9)}{64}$

Étape 4.2.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

${(y + 3)}^{2} = 4 \cdot - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{4 \cdot 16}$

Étape 4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

${(y + 3)}^{2} = 4 \cdot - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{4 \cdot 16}$

Étape 4.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

${(y + 3)}^{2} = - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{16}$

Étape 4.2.1.2

Associez $- 9$ et $\frac{- (x + 7) (x - 9)}{16}$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{- 9 (- (x + 7) (x - 9))}{16}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}$ comme ${(\frac{3}{4})}^{2} ((x + 7) (x - 9))$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9 (x + 7) (x - 9)$ .

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{16}}$

Étape 6.1.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{4^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y + 3 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} ((x + 7) (x - 9))}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y + 3 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{(x + 7) (x - 9)}$

Étape 6.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $\sqrt{(x + 7) (x - 9)}$ .

$y + 3 = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y + 3 = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

Étape 7.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y + 3 = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Étape 7.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

Étape 7.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$